9–1
9 Równaniaró»niczkowezwyczajneo
prawychstronachanalitycznych
Definicja.
Mówimy,»efunkcja
f
:
E
!
R,gdzie
E
R
m
jestobszarem,jest
analityczna w punkcie
(
y
1
,...,y
m
)
2
E
,je»eliistniej¡
r
1
>
0,...,
r
n
>
0,
takie,»e
•
(
y
1
−
r
1
,y
1
+
r
1
)
×···×
(
y
m
−
r
m
,y
m
+
r
m
)
E
,
•
f
obci¦tadozbioru(
y
1
−
r
1
,y
1
+
r
1
)
×···×
(
y
m
−
r
m
,y
m
+
r
m
)jest
sum¡szeregupot¦gowego
m
zmiennychzbie»negowka»dympunkcie
tegozbioru.
Funkcja
f
:
E
!
R,gdzie
E
R
m
jestobszarem,jest
analityczna na E
,
gdyjestanalitycznawka»dympunkcietegoobszaru.
Funkcjawektorowaokre±lonanaobszarze
E
R
m
jest
analityczna na E
,
gdyka»dazjejwspółrz¦dnychjestanalitycznana
E
.
Twierdzenie 9.1
(TwierdzenieCauchy’ego)
.
Niech
f
:(
a,b
)
×
D
!
R
n
,
gdzie D
R
n
jest obszarem, b¦dzie funkcj¡ analityczn¡ na
(
a,b
)
×
D.
Wówczas dla ka»dego t
0
2
(
a,b
)
i ka»dego
x
0
2
D istnieje dokładnie jedno
rozwi¡zanie nieprzedłu»alne'
:(
,
)
!
D zagadnienia pocz¡tkowego
8
<
:
x
0
=
f
(
t,
x
)
x
(
t
0
)=
x
0
.
Rozwi¡zanie to jest funkcj¡ analityczn¡ na
(
,
)
.
9.1 Równania ró»niczkowe zwyczajneliniowe
jednorodneowspółczynnikachanalitycznych
Twierdzenie 9.2.
Załó»my, »e w równaniu ró»niczkowym liniowym
jednorodnym
x
(
n
)
+
p
1
(
t
)
x
(
n
−
1)
+
···
+
p
n
−
1
(
t
)
x
0
+
p
n
(
t
)
x
=0
(RLJA
n
)
ka»da z funkcji p
1
,...,p
n
jest sum¡ szeregu pot¦gowego zbie»nego na
przedziale
(
t
0
−
r
0
,t
0
+
r
0
)
, gdzie r
0
>
0
. Wówczas dla ka»dego
9–2
SkompilowałJanuszMierczy«ski
(
x
0
,x
1
,...,x
n
−
1
)
2
R
n
rozwi¡zanie zagadnienia pocz¡tkowego
8
<
x
(
n
)
+
p
1
(
t
)
x
(
n
−
1)
+
···
+
p
n
−
1
(
t
)
x
0
+
p
n
(
t
)
x
=
h
(
t
)
x
(
t
0
)=
x
0
x
0
(
t
0
)=
x
1
.
.
.
x
(
n
−
1)
(
t
0
)=
x
n
−
1
.
:
jest sum¡ szeregu pot¦gowego zbie»nego na przedziale
(
t
0
−
r
0
,t
0
+
r
0
)
.
Współczynniki tego szeregu pot¦gowego mo»na wyliczy¢ przez podstawienie
odpowiednich danych do równania.
9.2 Równania ró»niczkowe Legendre’a
Definicja. Równaniem ró»niczkowym Legendre’a
1
nazywamyrównanie
ró»niczkowezwyczajneliniowejednorodne
(1
−
t
2
)
x
00
−
2
tx
0
+
(
+1)
x
=0
,
(RLeg
)
gdzie
2
R,rozpatrywanenaprzedziale(
−
1
,
1).
Łatwozauwa»y¢,»epoprzekształceniu
1
−
t
2
x
0
+
(
+1)
2
t
x
00
−
1
−
t
2
x
=0
funkcje
p
1
(
t
)=
−
2
t/
(1
−
t
2
)i
p
2
(
t
)=
(
+1)
/
(1
−
t
2
)mo»nawyrazi¢jako
sumyszeregówpot¦gowychzbie»nychna(
−
1
,
1).ZTwierdzenia9.2wynika,
»eka»derozwi¡zanierównaniaLegendre’a(RLeg
)jestfunkcj¡b¦d¡c¡
sum¡szeregupot¦gowegozbie»negona(
−
1
,
1).
Oznaczmyprzez
'
1
rozwi¡zanierównaniaLegendre’a(RLeg
)zwarunkami
pocz¡tkowymi
x
(0)=1,
x
0
(0)=0,iprzez
'
2
rozwi¡zanierównania(RLeg
)
zwarunkamipocz¡tkowymi
x
(0)=0,
x
0
(0)=1.Rozwi¡zania
'
1
i
'
2
mo»na
zapisa¢wpostacisumnast¦puj¡cychszeregówpot¦gowych(oprzedziałach
zbie»no±cizawieraj¡cych,napodstawieTwierdzenia9.2,przedział(
−
1
,
1)):
'
1
(
t
)=1+
1
X
(
−
1)
m
(
+2
m
−
1)(
+2
m
−
3)
...
(
+1)
(
−
2)
...
(
−
2
m
+2)
(2
m
)!
t
2
m
,
+
m
=1
1
Adrien-MarieLegendre(1752–1833),matematykfrancuski
Równaniaoprawychstronachanalitycznych
9–3
'
2
(
t
)=
t
+
1
X
(
−
1)
m
(
+2
m
)(
+2
m
−
2)
...
(
+2)(
−
1)(
−
3)
...
(
−
2
m
+1)
(2
m
)!
t
2
m
+1
.
+
m
=1
Zakładamyodt¡d,»e
jestliczb¡całkowit¡nieujemn¡
n
.
Je±li
n
jestparzyste,wówczaswewzorzena
'
1
tylkosko«czeniewiele
współczynnikówjestró»nychodzera(zatem
'
1
jestwielomianem),za±we
wzorzena
'
2
wszystkiewspółczynnikis¡niezerowe(zatem
'
2
niejest
wielomianem).
Je±li
n
jestnieparzyste,wówczaswewzorzena
'
1
wszystkiewspółczynniki
s¡niezerowe(zatem
'
1
niejestwielomianem,za±wewzorzena
'
2
tylko
sko«czeniewielewspółczynnikówjestró»nychodzera(zatem
'
2
jest
wielomianem).
Wobuprzypadkach,zbiórrozwi¡za«równaniaró»niczkowegoLegendre’a
b¦d¡cychwielomianamitworzyprzestrze«liniow¡wymiarujeden.
Definicja. n-tym wielomianem Legendre’a
,gdzie
n
=0
,
1
,
2
,
3
,...
,
nazywamyrozwi¡zanie
P
n
(
·
)równaniaró»niczkowegoLegendre’a
(1
−
t
2
)
x
00
−
2
tx
0
+
n
(
n
+1)
x
=0
(RLeg
n
)
b¦d¡cewielomianem,znormalizowanetak,»edla
t
=1przyjmujewarto±¢1.
Niech
−
1)
n
)
(
n
)
.
Oznaczmy
u
(
t
):=(
t
2
−
1)
n
.Ró»niczkuj¡ct¦funkcj¦
n
+2razy,
otrzymujemy
'
(
t
):=((
t
2
(
t
2
−
1)
u
(
n
+2)
(
t
)+2
t
(
n
+1)
u
(
n
+1)
(
t
)+(
n
+1)
nu
(
n
)
(
t
)
−
2
ntu
(
n
+1)
(
t
)
−
2
n
(
n
+1)
u
(
n
)
(
t
)=0
.
Poniewa»
'
(
t
)=
u
(
n
)
(
t
),funkcja
'
spełniazatemrównanie
Legendre’a(RLeg
n
).
Dalej,zauwa»my»e
'
(
t
)=((
t
−
1)
n
(
t
+1)
n
)
(
n
)
=((
t
−
1)
n
)
(
n
)
(
t
+1)
n
+
v
(
t
)=
n
!(
t
+1)
n
+
v
(
t
)
,
gdzie
v
(1)=0.Zatem
'
(1)=
n
!2
n
.
Zpowy»szychrozumowa«wynika,»e
P
n
(
t
)=
1
n
!2
n
((
t
2
−
1)
n
)
(
n
)
9–4
SkompilowałJanuszMierczy«ski
(jesttotzw.
wzór Rodriguesa
2
).Wszczególno±ci,
n
-tywielomian
Legendre’atowielomianstopnia
n
,owspółczynnikuprzynajwy»szej
pot¦dzerównym(2
n
)!
/
(2
n
(
n
!)
2
).
2
BenjaminOlindeRodrigues(1795–1851),matematykfrancuski