Tw 7. (Kryterium Cauchy’ego o zagęszczaniu)
Niech dla , oraz ciąg jest nierosnący, wówczas szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg
Tw 8.
Jeżeli oraz , to ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu , a z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu
Dowód:
Ponieważ na zbieżność szeregu nie ma wpływu wartość skończonej liczby początkowych jego wyrazów, więc można przyjąć, że nierówność zachodzi dla każdego n=1,2,3...
Stąd
Po wymienieniu tych nierówności stronami i redukcji otrzymujemy czyli dla każdego Zatem teza wynika z kryterium porównawczego w przypadku, gdy kryteria pierwiastkowe, tw. ilorazowe nie rozstrzygają o zbieżności lub rozbieżności szeregu stos. Tw 9.
Tw 9 Kryterium RaabegoJeżeli an>0, dla n=1,2,3...
Oraz istnieje skończona granica, lub nieskończona granica
To:
a) szereg jest zbieżny, gdy g>1
b) szereg jest rozbieżny, gdy g<1
Tw 10Można wykazać, że e jest liczbą niewymierną
Szeregi o wyrazach dowolnych. Do badania szeregów o wyrazach dowolnych stos. Następujące kryteria:
Tw 11Jeżeli:
a) ciąg (an) jest nierosnący, oraz an>0, dla n=1,2...
b) szereg jest rozbieżny, to szereg jest zbieżny.
Tw 12 Kryterium DirchretaJeżeli
a) ciąg (an), gdzie an>0 dla n=1,2... jest nierosnący i zbieżny do 0
b) sumy częściowe szeregu tworząc ciąg ograniczony tzn. to szereg jest zbieżny
Tw 13 Kryterium Leibniza szereg naprzemienny jest zbieżnyDowód: sumę częściową A2n dla ciągu można na pisać w postaci
(1) A2n=(a1-a2)+(a3-a4)+…+(a2n-1-a2n)
lub w postaci
(2) A2n=a1-(a2-a3)-(a4-a5)-…-(a2n-2-a2n-1)-a2n
Z (1) wynika, że ciąg (A2n) jest rosnący, a z (2) widać, że zachodzi oszacowanie A2n<a1
Rosnący ciąg (A2n) ograniczony z góry jest zbieżny do A, czyli
Ponieważ:
A2n-1=A2n+a2n
oraz
więc
Zatem , czyli szereg naprzemienny jest zbieżny
Tw 14Reszta szeregu naprzemiennego spełnia nierówność
Szeregi bezwzględna i warunkowozbieżne. Mówimy, że szereg jest bezwzględnie zbieżny, jeżeli zbieżny jest szereg
Tw 15Jeżeli szereg jest bezwzględnie zbieżny, to jest zbieżny.
Dowód. Zbieżność szeregu jest na mocy Cauchy’ego równoważne warunkowi Ponieważ zachodzi nierówność ,
więc z (1) wynika, że , czyli na podstawie tw. Cauchy’ego szereg jest zbieżny.
Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, gdyż szereg an harmoniczny jest zbieżny, ale nie zbieżny bezwzględnie
Mówimy, że szereg jest warunkowo zbieżny, gdy szereg jest zbieżny, oraz szereg jest zbieżny
Kryterium porównawcze, oraz kryteria pierwiastkowe ilorazowe są kryteriami zbieżności bezwzględnej.
Jeżeli dla szeregu zachodzi warunek to szereg jest rozbieżny.
Tw 16 RiemannaJeżeli szereg o wyrazach rzeczywistych jest warunkowo zbieżny, oraz S oznacza dowolną liczbę rzeczywistą lub to istnieje taka permutacja K1, K2, K3 liczb 1, 2, 3, że
§ 3 Granice Funkcji
Zakładamy, że funkcja gdzie jest określona dla x takich, że to znaczy z ewentualnym wyłączeniem x0. Liczbę nazywamy granicą funkcji f w punkcie x0 jeżeli piszemy wtedy
dla
Własności funkcji posiadających granicę
a) Funkcja f posiada w punkcie x0 najwyżej jedną granicę.
Dowód. Przypuśćmy, że przy , przy czym . Ponieważ , oraz więc dla takich, że otrzymujemy ,
czyli dla otrzymujemy sprzeczność
b) Niech funkcja f będzie określona dla x takich, że . Na to, by funkcja f posiadała granicę g w punkcie x0, wystarcza by dla każdego ciągu (xn) takiego, że 0<|x0-xn|<a zbieżnego do x0 ciąg wartości funkcji (f(xn)) dążyłby do g.
Dowód. Konieczność f ma w x0 granicę g, tzn. Niech ciąg xn będzie dowolnym ciągiem liczb rzeczywistych zbieżnym do x0 przy czym , czyli . Podstawiamy , wtedy , zatem , a więc .
Dostateczność
Dla każdego ciągu (xn) zbieżnego do mamy , oraz funkcja f nie posiada granicy g w punkcie xo, oznacza to, że
(1) , oznaczamy przez punkt przedziału różny od x0 dla każdego zachodzi (1).
Ponieważ
z drugiej strony jest widoczne, że dla każdego n=1,2...
, czyli ciąg nie dąży do g – sprzeczność.
c) Jeżeli funkcje f, g są określone w pewnym otoczeniu punktu x0 z ewentualnie wyłączeniem tego punktu, to funkcja posiada granicę w x0, oraz
Jeżeli ponadto to iloraz ma granicę, oraz
Dowód wynika z własności b.), oraz z odpowiednich tw. z teorii ciągów
d) Jeżeli funkcje f, g posiadają granicę w punkcie x0, oraz dla x takich, że to
e) Tw. o trzech funkcjach
Jeżeli funkcje f, g posiadają granicę g0 w punkcie x0, oraz funkcja h jest określona, spełnia nierówność
W pewnym otoczeniu x0, z ewentualnym wyłączeniem x0, to
Dowód oparty na własności b.) i tw. o trzech ciągach
Oprócz granicy funkcji f w punkcie x0 bada się również tzw. granice jednostronne
Def. 1 Niech funkcja f będzie określona dla x takich, że mówimy, że funkcja f posiada w x0 granicę prawostronną , jeżeli
Def. 2 Niech funkcja f będzie określona dla x takich, że
Mówimy, że f posiada w x0 granicę lewostronną jeżeli
Granicę prawostronną oznaczamy symbolem
Granicę lewostronną oznaczamy symbolem
Tw. 1Niech funkcja f będzie określona dla x takich, że
Funkcja f ma granicę w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy posiada w x0 granicę jednostronną gp, gl, oraz gp=gl=g
Dowód konieczność
Zakładamy, że istnieje granica g funkcji w punkcie x0 tzn.
(1)
z warunków (1) wynika, że
(2)
(3)
Z (2) wynika, że g=gp, a z (3) wynika, że g=gl
Niestety, ale w tym miejscu brakuje:
· Dostateczności, do Dowodu z tw. 1,
· Definicji granic niewłaściwych,
· Twierdzenia 3 (o granicy superpozycji funkcji),
· Twierdzenie 4: (jest) Jeżeli f jest funkcją monotoniczną w pewnym obszarze x0, to funkcja w x0 ma obie granice jednostronne.
· Twierdzenia 5 (Twierdzenia Bolzano-Cauchy’ego)
· i przykładów.
70