Klasyczna fizyka teoretyczna
Szczególna teoria wzgl¦dno±ci
Spis tre±ci
1
Rozwa»ania ogólne
1
2
Czasoprzestrze«
5
3
Przekształcenie Lorentza
9
4
Czterowektory i równanie ruchu
21
1
Rozwa»ania ogólne
Zjawiska fizyczne mo»na opisywa¢ w ró»nych układach odniesienia. W szczególno±ci
iner-
cjalnym
nazywamy układ odniesienia, w którym spełniona jest pierwsza zasada dynamiki.
Istnieje jednak wiele układów inercjalnych i opisy zjawisk w ró»nych układach powinny
by¢ z sob¡ zwi¡zane. Je±li w jednym układzie inercjalnym poło»enie punktu materialnego
(PM) opisywane jest przez funkcj¦
r
(
t
), to w drugim układzie inercjalnym ruch musi by¢
opisany przez inn¡ funkcj¦
r
(
t
). Aby znale¹¢ zwi¡zek mi¦dzy tymi funkcjami, rozwa»my
jednowymiarowy przykład poci¡gu poruszaj¡cego si¦ po prostoliniowym torze ze stał¡
pr¦dko±ci¡
V
.
Zakładamy, »e upływ czasu w układzie zwi¡zanym z poci¡giem b¦dzie taki sam, jak
w układzie zwi¡zanym z torem. Niech w chwili
t
= 0 ±rodek poci¡gu pokrywa si¦ z
pocz¡tkiem układu zwi¡zanego z torem; wtedy ruch ±rodka poci¡gu jest opisany wzorem
x
=
V t.
Inny punkt sztywno zwi¡zamy z poci¡giem, odległy o
a
od ±rodka poci¡gu porusza
si¦ według wzoru
x
(
t
) =
V t
+
a.
Je±li dopu±cimy, »e
a
nie musi by¢ dodatnie, to
a >
0 oznacza poło»enie od ±rodka
poci¡gu ku lokomotywie, za±
a <
0 oznacza poło»enie ku ostatniemu wagonowi. W takim
razie
a
mo»emy uwa»a¢ za współrz¦dn¡ poło»enia w układzie inercjalnym zwi¡zanym
z poci¡giem i zamiast
a
pisa¢
x
. Mamy wi¦c nast¦puj¡cy wzór na ruch wzgl¦dem toru
punktu o współrz¦dnej
x
w układzie poci¡gu
x
(
t
) =
x
+
V t.
(1)
1
Ale zamiast punktu nieruchomego wzgl¦dem poci¡gu mo»emy rozwa»a¢ punkt porusza-
j¡cy si¦ wzgl¦dem niego według funkcji
x
(
t
) – wtedy wzór (1) nadal pozostaje prawdziwy:
x
(
t
) =
x
(
t
) +
V t.
(2)
Równowa»ny temu jest zwi¡zek odwrotny
x
(
t
) =
x
(
t
)
−
V t.
(3)
I to jest szukany zwi¡zek mi¦dzy opisami ruchu tego samego PM wzgl¦dem dwóch iner-
cjalnych układów odniesienia.
Uogólniamy ten wynik na trzy wymiary. Je±li drugi układ porusza si¦ wzgl¦dem pierw-
szego z pr¦dko±ci¡
V
, to zachodzi zwi¡zek
r
(
t
) =
r
(
t
)
−
V t, t
=
t.
(4)
Druga równo±¢ jest dopisywana dla podkre±lenia, »e w obydwu ukladach czas płynie jed-
nakowo. Wzory (4) nazywane s¡
przekształceniem Galileusza
.
1
Po wprowadzeniu pr¦dko±ci
tego samego PM wyznaczanych w obu układach
dt
, v
=
dr
v
=
dr
dt
ró»niczkowanie wzoru (4) daje zwi¡zek mi¦dzy pr¦dko±ciami
v
=
v
−
V .
(5)
Ró»niczkowaie tego wzoru wzgl¦dem czasu daje zwi¡zek mi¦dzy przyspieszeniami
a
=
a.
(6)
Skoro przyspieszenia w obu układach odniesienia s¡ takie same, to i siły działaj¡ce na
PM s¡ takie same. To oznacza np. »e siła ci¡»enia i przyspieszenie ziemskie s¡ takie
same wzgl¦dem Ziemi jak i wzgl¦dem windy poruszaj¡cej si¦ jednostajnie. W takim razie
obserwowanie spadaj¡cego ciała w windzie nie pozwoli wykry¢ jednostajnego ruchu tej
windy.
Z takich spostrze»e« wzi¦ła si¦
Zasada wzgl¦dno±ci Galileusza
Prawa mechaniki s¡ jednakowe we wszystkich układach inercjalnych.
Po powstaniu elektrodynamiki jako teorii opisuj¡cej elektryczno±¢ i magnetyzm od-
kryto, »e fale elektromagnetyczne rozchodz¡ si¦ z szybko±ci¡
c
, gdzie
c
2
= 1
/"
0
µ
0
. Ocze-
kiwano, »e do ±wiatła równie» stosuje si¦ wzór (5). Je±li np. szybko±¢ ±wiatła wzgl¦dem
przestrzeni kosmicznej otaczaj¡cej Ziemi¦ (np. układu odniesienia zwi¡zanego ze Sło«-
cem) wynosi
c
, to wzgl¦dem Ziemi powinna by¢ inna. Dla wykrycia tej ró»nicy Michelson
2
1
Galileo Galilei (1564–1642) – fizyk i astronom włoski. Stworzył podstawy mechaniki, skonstruował
lunet¦, dzi¦ki której odkrył ksi¦»yce Jowisza. Był zwolennikiem pogl¡dów Kopernika.
2
Albert Abraham Michelson (1852–1931) fizyk ameryka«ski, urodził si¦ w Strzelnie koło Torunia.
Skonstruował precyzyjne przyrz¡dy optyczne i za ich pomoc¡ wykonywał pomiary spektroskopowe
i metrologiczne.
2
B
0
C
0
-
U
0
I
-
¾
U
B
A
C
B
0
C
0
-
U
0
II
¾
- ¾
A
-
U
B
C
B
0
C
0
-
U
0
III
-
¾
U
B
A
C
Rysunek 1: wiatło biegn¡ce równolegle do pr¦dko±ci wzgl¦dnej dwóch układów
i Morley
3
w 1887 roku wykonali do±wiadczenie z interferometrem, ale sko«czyło si¦ ono
niepowodzeniem – ruch Ziemi nie miał wpływu na szybko±¢ ±wiatła. Okazało si¦, »e elek-
tromagnetyzm jest t¡ dziedzin¡ fizyki, której nie dotyczy przekształcenie Galileusza, bo
szybko±¢ ±wiatła nie podlega prawu składania pr¦dko±ci danemu wzorem (5).
Albert Einstein
4
zało»ył, »e szybko±¢ ±wiatła wzgl¦dem ka»dego układu odniesienia jest
taka sama i nale»y zmieni¢ prawa przekształcania współrz¦dnych, aby były zgodne z tym
zało»eniem. Wtedy mo»na sformułowa¢ ogólniejsz¡ zasad¦ wzgl¦dno±ci, która obejmuje
róznie» zjawiska elektromagnetyczne.
Zasada wzgl¦dno±ci Einsteina
Prawa fizyki s¡ jednakowe we wszystkich układach inercjalnych.
Niezmienno±¢ szybko±ci ±wiatła powoduje, »e musimy zrezygnowa¢ z drugiej równo±ci
we wzorach (4). Poka»e to nast¦puj¡cy przykład ukazany na Rys. 1. Mamy dwa układy
odniesienia
U
i
U
0
poruszaj¡ce si¦ wzgl¦dem siebie ze stał¡ pr¦dko±ci¡. Niech punkty
A, B, C
w układzie
U
le»¡ na jednej prostej równoległej do pr¦dko±ci
V
układu
U
0
, niech
punkt
A
b¦dzie w równej odległo±ci od punktów
B
i
C
, w których s¡ umieszczone zwiercia-
dła. Dwa sygnały swietlne wysłane w jednej chwili z
A
(sytuacja I na rysunku) docieraj¡
w tym samym czasie do punktów
B
i
C
(sytuacja II), sk¡d zostaj¡ one natychmiast
odesłane w stron¦ punktu
A
, do którego docieraj¡ w tej samej chwili (sytuacja III). Roz-
patrzmy t¦ sam¡ sytuacj¦ widzian¡ z układu
U
0
. Przyjmijmy, »e w chwili, gdy w
U
do
punktów
B, C
docieraj¡ sygnały, punkty te pokrywaj¡ si¦ z punktami
B
0
, C
0
układu
U
0
.
Układ
U
0
porusza si¦, wi¦c sygnały wysłane z
B
i
C
nie spotkaj¡ si¦ w połowie drogi
mi¦dzy
B
0
i
C
0
, lecz bli»ej jednego z nich (np.
B
0
). Skoro w
U
0
sygnały nie spotkały si¦
w połowie drogi, a szybko±¢ ±wiatła w obie strony jest taka sama, to oznacza, »e sygnały
zostały wysłane niejednocze±nie – sygnał z
C
0
(i zarazem z
C
) został wysłany wcze±niej.
3
Edward Williams Morley (1838–1923) – fizyk i chemik ameryka«ski. Okre±lił g¦sto±¢ tlenu i wodoru.
4
Albert Einstein (1879–1955) – fizyk niemiecki, cz¦±¢ »ycia sp¦dził w USA. W 1905 roku ukazała si¦
jego praca
O elektrodynamice ciał w ruchu
zawieraj¡ca podwaliny szczególnej teorii wzgl¦dno±ci. W tym
samym roku opisał zjawisko fotoelektryczne wprowadzaj¡c poj¦cie kwantu ±wiatła i podał teori¦ ruchów
Browna. W 1921 roku dostał nagrod¦ Nobla za zjawisko fotoelektryczne.
3
A
A
¢¸A
A
¢
U
0
U
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
c
t/
2
L
L
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
¢
A
V
t/
2
6
?
¢
AU
O
0
O
B
Rysunek 2: wiatło biegn¡ce prostopadle do pr¦dko±ci wzajemnej dwóch układów
To oznacza, »e dwa zdarzenia – wysłanie sygnałów z
B
i
C
– s¡ jednoczesne w układzie
U
, ale nie s¡ jednoczesne w układzie
U
0
. Zatem warunek
t
0
=
t
nie mo»e by¢ spełniony.
B¦dziemy szuka¢ nowych przekształce« współrz¦dnych przestrzennych i czasu, które
zast¡pi¡ przekształcenia (4). B¦d¡ one znacz¡co ró»ne dla pr¦dko±ci porównywalnych
z pr¦dko±ci¡ ±wiatła i b¦d¡ zapewnia¢ t¦ sam¡ szybko±¢ ±wiatła w ró»nych układach
inercjalnych.
Na pocz¡tek znajdziemy wzór na przekształcenie odst¦pu czasowego mi¦dzy par¡ zda-
rze«, wyznaczanego w dwóch układach odniesienia. Niech układ
U
0
porusza si¦ wzgl¦dem
U
wzdłu» osi
X
z p¦dko±ci¡
V
. Niech w
U
0
w pocz¡tku układu
O
0
b¦dzie umieszczony
zegar i ¹ródło ±wiatła. Na osi
Y
0
prostopadłej do kierunku ruchu w punkcie
A
w odległo±ci
L
jest zwierciadło. Sygnał ±wietlny wysłany ze ¹ródła dociera do zwierciadła, odbija si¦
od niego i wraca do
O
0
po czasie
t
0
= 2
L/c.
(7)
Taki czas wyznaczy obserwator w
U
0
. W układzie
U
wygl¡da to inaczej. Wysłanie i otrzy-
manie odbitego sygnału nast¡pi nie w jednym, lecz w dwóch punktach
O
i
B
. Odst¦p czasu
t
mi¦dzy tymi zdarzeniami b¦dzie zmierzony za pomoc¡ dwóch zegarów umieszczonych
w tych dwóch punktach. W rozwa»aniach wa»ny jest trójk¡t równoramienny
OAB
. wia-
tło biegnie po ramionach
OA
i
AB
, a podstawa
QB
to odległo±¢, jak¡ przebył pocz¡tek
O
0
układu
U
0
. Długo±¢ podstawy wynosi
|
OB
|
=
V
t
, długo±ci ramion wynosz¡
s
L
2
+
1
|
OA
|
=
|
AB
|
=
4
V
2
t
2
Z drugiej strony s¡ to odcinki jakie ±wiatło przebiegło w czasie (1
/
2)
t
, wi¦c mamy
równo±¢
s
L
2
+
1
1
2
c
t,
4
V
2
t
2
=
L
2
+
1
1
4
V
2
c
2
=
4
c
2
t
2
St¡d wyliczamy
c
2
−
V
2
1
4
t
2
=
L
2
,
4
!
−
1
t
2
= 4
L
2
c
2
−
V
2
−
1
=
4
L
2
c
2
1
−
V
2
c
2
,
!
−
1
/
2
2
L
c
1
−
V
2
c
2
p
1
−
2
,
gdzie
=
V
2
L/c
c
.
Wykorzystujemy wzór (7) i otrzymujemy szukany wzór na przekształcanie czasu
t
=
=
t
0
p
1
−
2
.
t
=
(8)
Podkre±lamy, »e ten wzór dotyczy sytuacji, gdy odst¦p czasu
t
0
został zmierzony na
jednym zegarze, wi¦c gdy dwa zdarzenia zaszły w jednym miejscu. Ten fakt zaznacza si¦
nazw¡ – jest to przedział
czasu własnego
dla tej pary zdarze«. Pierwiastek w mianow-
niku jest nie wi¦kszy od jedynki, wi¦c zachodzi nierówno±¢
t
t
0
oznaczaj¡ca, »e
odst¦p czasu własnego jest najmniejszy w±ród odst¦pów mierzonych w ró»nych układach
odniesienia.
2
Czasoprzestrze«
Istotn¡ cz¦±ci¡ rozwa»a« w szczególnej teorii wzgl¦dno±ci jest
czasoprzestrze«
jako zbiór
czterowymiarowy ł¡cz¡cy w sobie czas i przestrze«. Jego elementami s¡
zdarzenia
jako
czwórki liczb (
t,x,y,z
) lub (
t,x
1
,x
2
,x
3
). Takie czwórki liczb mo»na dodawa¢ jako wektory
i w ten sposób czasoprzestrze« staje si¦ czterowymiarow¡ przestrzeni¡ wektorow¡, nazywa
si¦ j¡
przestrzeni¡ Minkowskiego
.
5
Wykres ruchu PM w czasoprzestrzeni nazywa si¦
lini¡
±wiata
PM.
W mechanice klasycznej posługujemy si¦ namiastk¡ czasoprzestrzeni, kiedy sporz¡-
dzamy wykresy ruchu odkładaj¡c na jednej osi czas, a na drugiej poło»enie punktu mate-
rialnego. Jest to dwuwymiarowa cz¦±¢ czasoprzestrzeni. Przy rozwa»aniach teorii wzgl¦d-
no±ci przyj¦ło si¦ umieszcza¢ czas na osi pionowej, a poło»enie na poziomej – wtedy łatwiej
odró»nia si¦ ruch w prawo od ruchu w lewo. Na Rys. 3 ukazujemy ró»ne ruchy jednostajne:
prosta I oznacza ruch w prawo, prosta II – ruch w prawo z wi¦ksz¡ szybko±ci¡, prosta
III – ruch w lewo, a prosta IV – spoczynek w punkcie
x
=
a
. Ruchy I, II, III zaczynaj¡
si¦ w chwili
t
= 0 w jednym miejscu
x
= 0, czyli w pocz¡tku układu. Sama o± czasu
te» oznacza pewien szczególny ruch – trwanie w jednym miejscu obserwatora, który ma
tkwi¢ w pocz¡tku układu. Zdarzenia układaj¡ce si¦ na prostych pionowych uwa»amy za
zachodz¡ce
w jednym miejscu
(„ jednomiejscowe”), a zdarzenia układaj¡ce si¦ na prostych
poziomych – za
jednoczesne
.
Zauwa»my nast¦puj¡ce dwa fakty
1. Zbiór zdarze« spełniaj¡cych warunek
x
= 0 jest osi¡ czasu
T
.
2. Zbiór zdarze« spełniaj¡cych warunek
t
= 0 jest osi¡ przestrzenn¡
X
.
5
Hermann Minkowski (1864–1909) – urodzony na Litwie matematyk i fizyk niemiecki. Uczył si¦
w gimnazjum w miejscowo±ci niedaleko Elbl¡ga, która dzi± nazywa si¦ Stare Miasto, studiował w Kró-
lewcu. Zajmował si¦ geometri¡, topologi¡, fizyk¡ matematyczn¡ i termodynamik¡.
5