Ruch okresowy
‐ Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu.
Przykłady:
•
Ruch masy zawieszonej na sprężynie w polu grawitacyjnym,
•
Drgania powierzchni cieczy,
•
Wahadło fizyczne,
•
Ruch zapadki na kole zębatym.
Ruch harmoniczny ‐
Szczególny przypadek ruchu okresowego, w którym położenie obiek‐
tu zmienia się jak funkcja
sinus
lub
cosinus
. W takim ruchu obiekt
wykonuje
drgania harmoniczne.
Drgania harmoniczne mogą dotyczyć nie tylko położenia, ale również szeregu innych wielko‐
ści fizycznych, takich jak:
•
Natężenie pola elektrycznego lub magnetycznego fali elektromagnetycznej,
•
Natężenie światła po przejściu przez modulator,
•
Ciśnienie powietrza w obecności fal dźwiękowych,
•
Natężenie prądu w elektrycznym obwodzie drgającym.
Drgania i fale 1
Ruch harmoniczny
Własnościami ruchu harmonicznego zajmiemy się na przykładzie oscylatora harmonicznego,
x
którego stan może być opisany za pomocą jednej współrzędnej . Może to być pewna masa
m
wykonująca drgania pod wpływem siły sprężystości na idealnie gładkim stole.
x
‐ położenie równowagi masy
m
.
Siła sprężystości (siła harmoniczn
a)
F kx x
= −−
(
)
0
k
‐
współczynnik sprężystości
( związek z prawem Hooke’a
Δ
=
l
1
F
)
l ES
Drgania i fale 2
Ruch harmoniczny, cd.
F kx x
= −−
.
(
)
Siła kwazisprężysta
‐ Dowolna siła typu
Jest charakterystyczna dla małych
0
wychyleń układu z położenia równowagi.
Ruch harmoniczny
‐
Ruch, w którym poza siłą harmoniczną nie występują żadne inne siły
prosty
(np. tarcia, lub inne siły zewnętrzne zależne od położenia lub pręd‐
kości danego obiektu.
Równanie ruchu harmonicznego prostego
G
G
2
dp
dx F
dt
=
F
=
, lub dla ruchu jednowymiarowego
2
m
dt
2
dx k
xx
=−
(
−
)
0
2
dt
m
2
k
m
dx
2
2
2
+=
ω
x
ω
x
=
ω
→
0
2
dt
Jest to równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu, niejednorodne.
Drgania i fale 3
Równanie ruchu harmonicznego prostego, cd.
2
dx
2
2
+=
ω
x
ω
x
0
2
dt
Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego jest równe sumie ogólnego rozwiązania od‐
powiedniego równania jednorodnego i dowolnego rozwiązania szczególnego równania nie‐
jednorodnego.
Szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego:
x t
=
()
0
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego:
x t A t A t
()
=
cos( )
ω
+
sin( )
ω
1
2
Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego:
x t xA t A t
()
= +
cos( )
ω
+
sin( )
ω
0
1
2
Warunki poc
t
=
0
zą
tkowe
(dla
):
x t
( )
p
==
x
→
p
x xA
= +
→
1
A xx
=
−
0
1
p
0
dx t
()
υ
()
t
=
= −
A
ωω ωω
sin( )
t
+
A
cos( )
t
1
2
dt
υ
p
→
→
2
A
=
υ
(0
p
t
==
)
υ
υ
=
A
ω
p
2
ω
Drgania i fale 4
Równanie ruchu harmonicznego prostego, cd.
Otrzymaliśmy:
=
ω
p
A
x t xA t A t
()
=+
cos( )
ω
+
sin( )
ω
,
A xx
=−
,
2
0
1
2
1
p
0
Równanie ruch
u oscylatora harmonicznego prostego:
υ
p
xt x x x
()
=+ −
(
)cos( )
ω
t
+
sin( )
ω
t
0
p
0
ω
υ
p
ω
=−
A
sin
δ
p
xxA
δ
− =
cos
Zastosujmy przekształcenia:
,
0
xt xA t
( )
=+
cos(
ω
)cos
δ
−
sin(
ωδ
t
)sin
=+
xA t
cos(
ω
+
)
[
]
0
0
2
2
2
2
Amplitudę drgań
A
można znaleźć z równania
AA A
=
cos
δ
+
sin
δ
2
υ
p
2
Ax
=
(
−
x
)
+
Przyjmuje się, że amplituda
A
jest zawsze dodatnia.
p
0
2
ω
Drgania i fale 5