LICZBY I ZBIORY
LICZBY I ZBIORY
Wymagania podstawowe
Konieczne (na ocenê dopuszczaj¹c¹)
Uczeñ:
1. wyznaczy czêœæ wspóln¹ i sumê dwóch zbiorów skoñczonych,
2. dokona przybli¿enia liczby rzeczywistej z zadan¹ dok³adnoœci¹, np. z wykorzys-
taniem kalkulatora,
3. wykona dzia³ania w zbiorach liczb ca³kowitych, wymiernych i rzeczywistych,
4. obliczy wartoœæ potêgi o wyk³adniku naturalnym lub ca³kowitym,
5. wykona dzia³ania na potêgach o wyk³adnikach naturalnych i ca³kowitych oraz na
pierwiastkach jednakowego stopnia,
6. odczyta i zaznaczy na osi liczbowej przedzia³y liczbowe,
7. wyznaczy czêœæ wspóln¹ i sumê przedzia³ów liczbowych,
8. zaznaczy na osi liczbowej zbiór rozwi¹zañ nierównoœci liniowej z jedn¹ niewia-
dom¹,
9. obliczy odleg³oœæ punktów na osi liczbowej,
10. obliczy punkty procentowe.
Podstawowe (na ocenê dostateczn¹)
Uczeñ spe³nia wymagania od 1 do 10 oraz:
11. poda przyk³ad zbioru pustego, skoñczonego i nieskoñczonego,
12. wyznaczy czêœæ wspóln¹ i sumê dwóch zbiorów,
13. poda przyk³ady liczb niewymiernych,
14. porówna liczby rzeczywiste,
15. wyznaczy rozwiniêcie dziesiêtne liczby wymiernej,
16. obliczy wartoœæ potêgi o wyk³adniku wymiernym,
17. obliczy pierwiastki nieparzystego stopnia z liczb ujemnych,
18. poda w³asnoœci potêg o wyk³adniku rzeczywistym,
19. usunie niewymiernoœæ z mianownika u³amka,
20. poda wartoœæ bezwzglêdn¹ liczby rzeczywistej,
21. pos³uguje siê procentami i punktami procentowymi w rozwi¹zywaniu zadañ,
22. obliczy procent prosty i sk³adany,
23. na podstawie odpowiednich obliczeñ oceni op³acalnoœæ lokat i atrakcyjnoœæ kre-
dytu.
4
I
Wymagania
Wymagania ponadpodstawowe
Rozszerzaj¹ce (na ocenê dobr¹)
Uczeñ spe³nia wymagania od 1 do 23 oraz:
24. wyznaczy ró¿nicê zbiorów,
25. wykona dzia³ania ³¹czne na liczbach rzeczywistych,
26. obliczy b³¹d wzglêdny i bezwzglêdny przybli¿enia,
27. zaznaczy na osi liczbowej punkt o wspó³rzêdnej niewymiernej, np.
3
,
2
,
5
,
28. wyznaczy ró¿nicê przedzia³ów liczbowych,
29. zapisze liczbê w notacji naukowej.
Dope³niaj¹ce (na ocenê bardzo dobr¹)
Uczeñ spe³nia wymagania od 1 do 29 oraz:
30. oceni dok³adnoœæ zastosowanego przybli¿enia,
31. zaznaczy na osi liczbowej zbiory opisane za pomoc¹ równañ i nierównoœci z war-
toœci¹ bezwzglêdn¹ typu |
x
-
a
|
=
b
, |
x
-
a
|
<
b
, |
x
-
a
|
>
b
,
32. obliczy wartoœæ lokaty o zmieniaj¹cym siê oprocentowaniu,
33. obliczy koszt kredytu na podstawie informacji o planie sp³at.
5
I
LICZBY I ZBIORY
1. Zbiory i podzbiory
Pojêcie zbioru
ç
W jêzyku potocznym u¿ywa siê ró¿nych s³ów do okreœlenia zbioru:
zespó³
,
grupa
,
seria
...
ç
W matematyce zbiór to jedno z najczêœciej u¿ywanych pojêæ.
ç
Choæ wszyscy intuicyjnie rozumiemy pojêcie zbioru, nie sposób podaæ jego
matematycznej definicji.
Zbiór jest pojêciem pierwotnym i nie okreœlamy go.
Æw.1.
W jêzyku potocznym zamiast
zbiór saren
mówi siê
stado saren
.
Zast¹p nazwami u¿ywanymi w jêzyku potocznym s³owo
zbiór
w sformu³owa-
niach:
a)
zbiór bocianów;
b)
zbiór znaczków;
c)
zbiór starych monet;
d)
zbiór muzyków;
e)
zbiór sukcesów;
f)
zbiór œwie¿ych marchewek.
Æw.2.
U¿yj s³owa
zbiór
w okreœleniach z jêzyka potocznego:
a)
mnóstwo zabawek;
b)
garœæ guzików;
c)
grupa uczniów;
d)
t³um ludzi;
e)
peleton kolarzy;
f)
zwi¹zek pañstw wyszehradzkich.
Zbiory oznaczamy du¿ymi literami
A
,
B
,
C
,
X
,
Y
, itp.
Zbiór tworz¹
elementy
, które oznaczamy ma³ymi literami.
Zapis
a
Î
A
czytamy:
a
nale¿y do zbioru
A
.
Zapis ten oznacza, ¿e
a
jest elementem zbioru
A
.
Zbiór elementów
a
,
b
,
c
,
d
,
e
oznaczamy symbo-
licznie { ,
k
c
a
a b c d e
.
Zbiór taki mo¿na przedstawiæ graficznie — rysunek 1.1
Zapis
k
Ï
A
czytamy:
k
nie nale¿y do zbioru
A
.
Zapis ten oznacza, ¿e
k
nie jest elementem zbioru
A
.
,
,
,
}
e
b
d
A
Rys. 1.1
6
1
Zbiory i podzbiory
Æw.3.
Podaj 3 elementy zbioru miesiêcy roku. Ile elementów liczy ten zbiór?
Æw.4.
Wymieñ po trzy elementy:
– które nale¿¹ do zbioru
A
,
– które nie nale¿¹ do zbioru
A
, je¿eli:
a)
A
– zbiór uczniów twojej klasy;
b)
A
– zbiór lekcji, które masz dzisiaj zgodnie z planem;
c)
A
– zbiór drzew liœciastych.
Ze wzglêdu na liczbê elementów wyró¿niamy:
ç
zbiory nieskoñczone
, np. z
biór liczb wiêkszych od 1
,
ç
zbiory skoñczone
, np.
zbiór palców u r¹k
,
ç
zbiór pusty
— zbiór, do którego nie nale¿y ¿aden element; oznaczamy go
symbolem Æ, np.
zbiór miesiêcy, w których liczba dni wynosi 32
.
Æw.5.
Oceñ, który ze zbiorów jest skoñczony, nieskoñczony, a który pusty:
a)
zbiór liczb mniejszych od 5;
b)
zbiór uczniów w twojej klasie [szkole, kraju];
c)
zbiór punktów ko³a;
d)
zbiór województw Polski, w których nie ma ani jednego miasta.
Na lekcjach matematyki bêdziemy zajmowaæ siê zbiorami, których elemen-
tami s¹ liczby. Zbiory takie nazywa siê
zbiorami liczbowymi
.
Mo¿emy na przyk³ad opisaæ zbiór dzielników liczby 12. Oznaczmy go
D
12
.
D
12
= { ,
1 2 3 4 6 12 . (Rys. 1.2.)
,
,
,
,
}
3
4
1
12
2
6
Rys. 1.2
Sposoby opisywania zbiorów
Zbiory opisuje siê:
ç
okreœlaj¹c wspóln¹ w³asnoœæ wszystkich elementów zbioru, np.
K
–
zbiór wszystkich liczb parzystych wiêkszych od 0 i mniejszych od 10
;
ç
wymieniaj¹c wszystkie elementy zbioru, np.
K
= {
2 4 6 8 ;
,
,
,
}
7
I
LICZBY I ZBIORY
ç
okreœlaj¹c warunek
W
( ), jaki musz¹ spe³niæ elementy
x
, co zapisujemy
{ :
x w x
.
K
= {
x
:
x
jest liczb¹ parzyst¹ i 0
( )}
< <
x
}.
Zapis taki czytamy:
K
jest zbiorem elementów x, takich ¿e x jest liczb¹ pa-
rzyst¹ i x jest wiêksze od 0 i mniejsze od 10
.
10
Uwaga!
Wymieniaj¹c elementy zbioru, ka¿dy element (zapisujemy) wymienia-
my tylko raz; kolejnoϾ, w jakiej wymieniamy elementy, jest dowolna.
Æw.6.
Opisz innym sposobem zbiory:
A
–
zbiór dzielników liczby 24,
B
= {3, 6, 9, 12, 15, 18},
C
= {
x
:
x
jest liczb¹ jednocyfrow¹ i 0
£
x
£
10
}.
Podzbiory
Definicja
Zbiór
B
jest podzbiorem zbioru
A
, jeœli ka¿dy element zbioru
B
nale¿y do
zbioru
A
.
Zapis
B
Ì oznacza, ¿e zbiór
B
jest podzbiorem
zbioru
A
. Mo¿emy go równie¿ przeczytaæ:
zbiór
B
zawiera siê w zbiorze
A
. (Rys. 1.3)
Je¿eli zbiór
K
nie jest podzbiorem zbioru
A
, to zapi-
sujemy to
K
A
B
Ë
A
.
K
Rys. 1.3
Uwaga!
Dla ka¿dego zbioru
A
zachodzi:
A
Ì
A
oraz Æ Ì
A
.
P.1.
Wypisz wszystkie podzbiory zbioru {2, 4, 6} oraz okreœl iloœæ elemen-
tów w tych podzbiorach.
Æ – brak elementów
{2}, {4}, {6} – podzbiory jednoelementowe
{2, 4}, {2, 6}, {4, 6} – podzbiory dwuelementowe
{2, 4, 6} – podzbiór trzyelementowy (zbiór
A
)
1+1=
8