v
B
Rzuty pr
ę
dko
ś
ci dowolnych
dwóch punktów ciała sztywnego
na prost
ą
przechodz
ą
c
ą
przez te
punkty s
ą
sobie równe
Kinematyka bryły
v
¢
B
B
v
A
¢
v
A
×
cos
a
=
v
B
×
cos
b
v
A
A
2
Ruch post
ę
powy bryły materialnej
Niech bryła porusza si
ę
tak,
Ŝ
e jej poło
Ŝ
enia chwilowe s
ą
równoległe
do poło
Ŝ
enia pocz
ą
tkowego.
Taki ruch nazywa
ć
b
ę
dziemy
ruchem post
ę
powym
.
Ruch post
ę
powy bryły
r
= const
B
B
B
r
r
r
A
A
A
4
Ruch post
ę
powy bryły materialnej
Ruch post
ę
powy bryły materialnej
W ruchu post
ę
powym tor dowolnego punktu jest taki sam jak tor
innego punktu. Tory (trajektorie) punktów bryły s
ą
przesuni
ę
te
równolegle wzgl
ę
dem siebie. Mog
ą
by
ć
krzywymi lub prostymi (ruch
prostoliniowy).
Pr
ę
dko
ś
ci wszystkich punktów bryły poruszaj
ą
cej si
ę
ruchem post
ę
powym s
ą
w danej chwili wektorami równymi.
v
=
v
=
v
=
v
B
B
A
B
i
B
r
r
r
r
Przyspieszenia wszystkich punktów bryły poruszaj
ą
cej si
ę
ruchem post
ę
powym s
ą
w danej chwili wektorami równymi.
A
A
a
=
a
=
a
=
a
r
A
A
B
i
r
=
co
nst
O
r
B
r
=
A
+
r
5
6
1
Ruch obrotowy bryły materialnej
z
Rozpatrzmy ruch bryły maj
ą
cej dwa
punkty nieruchome.
Ruch obrotowy bryły
W takim przypadku bryła mo
Ŝ
e
jedynie obraca
ć
si
ę
dookoła osi
przechodz
ą
cej przez te dwa punkty.
O
ś
ta zwana jest
osi
ą
obrotu
.
Ciało wykonuj
ą
ce ruch obrotowy ma jeden
stopie
ń
swobody. Do okre
ś
lenia poło
Ŝ
enia
tego ciała w przestrzeni potrzebna jest tylko
jedna współrz
ę
dna.
8
Ruch obrotowy bryły materialnej
Pr
ę
dko
ść
k
ą
towa w ruchu obrotowym
.
z
K
ą
t który tworzy płaszczyzna
ruchoma
Pierwsz
ą
pochodn
ą
k
ą
ta obrotu wzgl
ę
dem czasu nazywamy
pr
ę
dko
ś
ci
ą
k
ą
tow
ą
ruchu obrotowego.
p
z nieruchom
ą
p
0
nazywamy
k
ą
tem obrotu ciała
.
K
ą
t ten okre
ś
la poło
Ŝ
enie ciała
sztywnego w przestrzeni.
K
ą
t obrotu ciała b
ę
dziemy
uwa
Ŝ
ali za dodatni je
Ŝ
eli
patrz
ą
c z grotu osi obrotu ciało
obraca
ć
si
ę
b
ę
dzie przeciwnie
do ruchu wskazówek zegara.
Pr
ę
dko
ść
k
ą
towa
to wektor
le
Ŝą
cy na osi obrotu ciała.
Zwrot wyznaczamy z reguły
ś
ruby prawoskr
ę
tnej bior
ą
c pod
uwag
ę
kierunek obrotów.
j
( )
Moduł wektora pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej wynosi:
p
0
p
x
rad
( )
y
w
=
j
#
t
K
ą
t obrotu jest funkcj
ą
czasu.
s
j
=
j
(t) [rad]
k
ą
t obrotu ciała
9
10
Przyspieszenie w ruchu obrotowym
Ruch obrotowy bryły materialnej
Drug
ą
pochodn
ą
k
ą
ta obrotu nazywamy
przyspieszeniem
k
ą
towym
ruchu obrotowego.
z
Przyspieszenie k
ą
towe
to wektor
le
Ŝą
cy na osi obrotu ciała.
Zwrot zgodny ze zwrotem wektora pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej gdy ruch
jest przyspieszony lub zwrot przeciwny do zwrotu wektora
pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej gdy ruch jest opó
ź
niony.
j
j =
j
( )
t
K
ą
t obrotu
p
( )
0
p
w
=
j
#
t
Pr
ę
dko
ść
k
ą
towa
Moduł wektora przyspieszenia k
ą
towego wynosi:
x
w
y
e
=
w
=
j
( )
rad
e
e
=
w
#
=
j
( )
Przyspieszenie k
ą
towe
s
2
11
12
2
płaszczyzn
ą
t
#
#
t
#
t
Ruch obrotowy bryły materialnej
Pr
ę
dko
ść
punktu bryły
z
Pr
ę
dko
ść
liniowa
punktu bryły w
ruchu obrotowym jest równa
iloczynowi wektorowemu pr
ę
dko
ś
ci
k
ą
towej ruchu obrotowego bryły
sztywnej przez promie
ń
wektor
ł
ą
cz
ą
cy dowolny punkt na osi obrotu
bryły z rozpatrywanym punktem.
z
h
h
v
A
A
A
v
= w
×
h
r
v
= w
´
r
A
A
A
A
x
w
y
v
=
w
×
r
×
sin
Ð
(
w
,
r
)
x
w
y
A
A
A
e
e
v
= w
×
h
A
A
13
14
Rozkład pr
ę
dko
ś
ci punktów
Przyspieszenie punktu bryły materialnej
a
=
v
#
=
d
(
w
´
r
)
A
A
A
dt
a
A
=
e
´
r
A
+
w
´
v
A
v
A
(
)
a
=
e
´
r
+
w
´
w
´
r
A
A
A
v
=
w
×
h
m
Całkowite przyspieszenie dowolnego punktu bryły sztywnej
poruszaj
ą
cej si
ę
ruchem obrotowym jest wektorow
ą
sum
ą
dwóch przyspiesze
ń
:
przyspieszenia stycznego
i
normalnego
i
i
s
15
16
Przyspieszenie styczne punktu bryły materialnej
Przyspieszenie normalne punktu bryły
a
t
A
= e
´
r
a
A
=
w
´
(
w
´
r
A
)
m
a
t
A
=
e
×
h
Warto
ść
wektora
a
n
A
= w
2
×
h
Warto
ść
wektora
A
A
s
2
Kierunek wektora
przyspieszenia normalnego jest prostopadły do
kierunku wektora pr
ę
dko
ś
ci k
ą
towej (prostopadły do osi obrotu) i
prostopadły do wektora pr
ę
dko
ś
ci liniowej rozpatrywanego punktu
czyli pokrywa si
ę
z promieniem okr
ę
gu po którym w danej chwili
porusza si
ę
rozpatrywany punkt.
Kierunek wektora
przyspieszenia stycznego jest kierunkiem
stycznym do toru rozpatrywanego punktu.
Zwrot
zale
Ŝ
y od tego czy ruch jest przyspieszony czy opó
ź
niony.
Je
Ŝ
eli jest przyspieszony to zwrot wektora przyspieszenia
stycznego jest zgodny ze zwrotem wektora pr
ę
dko
ś
ci
rozpatrywanego punktu. Je
Ŝ
eli jest opó
ź
niony to zwrot wektora
przyspieszenia stycznego jest przeciwny.
Zwrot
zawsze do osi obrotu.
17
18
3
A
Ruch obrotowy bryły materialnej
Rozkład przyspiesze
ń
punktów
z
a
A
a
A
=
a
t
A
+
a
A
a
t
A
Moduł wektora
( ) ( )
a
n
A
a
=
t
A
2
+
a
A
2
A
h
a
a
=
e
×
h
)
2
+
( )
w
2
×
h
2
n
A
A
A
A
t
A
a
w
Dla dowolnego punktu znajduj
ą
cego si
ę
na promieniu mo
Ŝ
emy
napisa
ć
A
e
2
4
a
=
h
e +
w
i
i
19
20
4
a
(