[12]
M.Miszczyński, Materiały do wykładu 3 ze Statystyki, WSEH, Skierniewice 2005/06
CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE
STRUKTURY ZBIOROWOŚCI
(c.d.)
1. miary położenia ‑ wykład 2
2. miary zmienności (dyspersji, rozproszenia)
3. miary asymetrii (skośności)
4. miary koncentracji
MIARY ZMIENNOŚCI
Miary zmienności charakteryzują stopień zróżnicowania jednostek zbiorowości pod względem badanej cechy.
Miary zmienności dzielą się na miary klasyczne i pozycyjne.
1. miary klasyczne (wariancja, odchylenie standardowe, odchylenie przeciętne, współczynnik zmienności) oraz
2. miary pozycyjne (rozstęp, odchylenie ćwiartkowe, współczynnik zmienności).
Miary KLASYCZNE
Wariancja, odchylenie standardowe,
odchylenie przeciętne,
współczynnik zmienności (klasyczny)
Wariancję (s2) definiuje się jako średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości. Wariancja jest wielkością mianowaną w kwadracie miana badanej cechy i nie interpretujemy jej.
Odchylenie standardowe (s) jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. Jest ono wielkością mianowaną tak samo jak badana cecha. Odchylenie standardowe określa przeciętne zróżnicowanie badanej cechy od średniej arytmetycznej.
Odchylenie przeciętne (d) jest średnią arytmetyczną bezwzględnych odchyleń wartości cechy od jej średniej arytmetycznej. Jest ono wielkością mianowaną tak samo jak badana cecha. Odchylenie przeciętne interpretujemy podobnie jak odchylenie standardowe.
Współczynnik zmienności (klasyczny) (Vs lub Vd) jest to iloraz odchylenia standardowego (lub przeciętnego) przez średnia arytmetyczną. Jest to wielkość niemianowana. Używamy go do porównań zmienności w dwu lub więcej zbiorowościach.
Ocena rozproszenia
na podstawie obserwacji diagramów
Na rysunku pokazano dwa diagramy częstości (1) i (2).
Dla uproszczenia miary położenia (średnia, mediana i modalna) są sobie równe i identyczne dla obu zbiorowości.
· Mniejsze rozproszenie wokół średniej występuje w zbiorowości (1).
Diagram jest smuklejszy i wyższy.
· Większe rozproszenie wokół średniej występuje w zbiorowości (2).
Diagram jest bardziej rozłożysty i niższy.
Odchylenie standardowe w zbiorowości (1) jest mniejsze niż w zbiorowości (2)
S1 < S2
Przedział TYPOWYCH wartości cechy
(miary klasyczne)
Przedział taki ma tą własność, że około70% jednostek badanej zbiorowości charakteryzuje się wartością cechy należącą do tego przedziału.
Reguła „3 sigma”
Dla szeregów szczegółowych
Wariancja
Odchylenie standardowe
Odchylenie przeciętne
Współczynnik zmienności (klasyczny)
lub
PRZYKŁAD 1
Weźmy dane z przykładu 1 (wykład 2) o liczbie braków:
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4
Jak pamiętamy: n=50
Wariancja liczby braków:
Odchylenie standardowe:
Odchylenie przeciętne:
Współczynnik zmienności (klasyczny)
lub
Dla szeregów rozdzielczych punktowych
Wariancja
Odchylenie standardowe
Odchylenie przeciętne
W przykładzie z liczbą braków obliczenia przedstawia poniższa tabela.
numer
klasy
liczba
braków
liczba
wyrobów
obliczenia dla wariancji
odchylenie
przeciętne
i
xi
ni
1
0
30
‑0,8
0,64
19,20
24,0
2
1
8
0,2
0,04
0,32
1,6
3
2
6
1,2
1,44
8,64
7,2
4
3
4
2,2
4,84
19,36
...