ņ
arnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – cz
ħĻę
II
Teoria Markowitza
Optymalizacja portfela na bazie analizy warto
Ļ
ci oczekiwanej i wariancji
1 Definicja problemu portfela
Danych jest
N
akcji:
n
=1, …,
N
o nast
ħ
puj
Ģ
cych charakterystykach
•
akcja
n
ma stop
ħ
zwrotu dan
Ģ
zmienn
Ģ
losow
Ģ
~
R
z warto
Ļ
ci
Ģ
oczekiwan
Ģ
E
Ç
~
R
Ù
=
R
n
n
•
I wariancj
Ģ
Ç
~
×
2
R
=
s
>
0
Var
É
Ù
n
1
É
×
dr J.
ņ
arnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – cz
ħĻę
II
•
Kowariancja stop zwrotu pomi
ħ
dzy akcjami
n
oraz
m
:
Ç
~
~
×
R
n
R
,
=
s
Cov
É
Ù
m
nm
•
Przy czym
s =
s
.
Powy
Ň
sze charakterystyki mo
Ň
na zapisa
ę
w notacji wektorowej:
•
Wektor oczekiwanych stop zwrotu z N akcji
Ç
R
4
1
×
R
=
È
Ø
È
Ø
R
É
Ù
N
2
2
n
nn
È
Ø
dr J.
ņ
arnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – cz
ħĻę
II
•
Macierz wariancji-kowariancji
Ç
s
11
3
s
1
N
×
È
Ø
È
4
4
Ø
V
=
È
Ø
s
3
s
É
Ù
N
1
NN
•
Zało
Ň
enia dotycz
Ģ
ce macierzy wariancji-kowariancji:
o
V
jest macierz
Ģ
dodatnio okre
Ļ
lon
Ģ
tj.
w Vw
> 0
dla ka
Ň
dego
w
Î
R
N
,
w
¹
0
o
to implikuje jej odwracalno
Ļę
oraz to, i
Ň
o
Ň
aden z wierszy (kolumn) nie da si
ħ
przedstawi
ę
jako kombinacji liniowej
innych wierszy (kolumn) tj.
Ň
adna z akcji nie jest redundantna.
3
dr J.
ņ
arnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – cz
ħĻę
II
Portfel inwestora:
Ç
w
4
1
×
È
Ø
w
=
È
Ø
w
É
N
Ù
w
- waga akcji
n
w portfelu.
Zakładamy, i
Ň
cały maj
Ģ
tek inwestora jest zainwestowany tj:
Ã
=
w
=
1
.
n
n
1
4
È
Ø
N
dr J.
ņ
arnowski, Teoria Inwestowania – materiały do wykładu – cz
ħĻę
II
W notacji wektorowej warunek ograniczaj
Ģ
cy (brzegowy) na wagi portfela jest
nast
ħ
puj
Ģ
cy:
1 w =
1
gdzie
1
jest wektorem “jedynek”.
Nie zakładamy innych warunków brzegowych i ogranicze
ı
na portfel tj:
•
akcje s
Ģ
doskonale podzielne
•
dozwolona jest “krótka” sprzeda
Ň
bez ogranicze
ı
5